10 įdomių uždavinių iš seno aritmetikos vadovėlio

2024 Autorius: Malcolm Clapton | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 04:04

Šios problemos buvo įtrauktos į L. F. Magnitskio „Aritmetiką“– XVIII amžiaus pradžioje pasirodžiusį vadovėlį. Pabandykite juos išspręsti!

1. Statinė giros

Vienas žmogus giros statinę išgeria per 14 dienų, o kartu su žmona – per 10 dienų. Po kiek dienų žmona viena išgers statinę?

Raskime skaičių, kuris gali dalytis arba iš 10, arba iš 14. Pavyzdžiui, 140. Per 140 dienų žmogus išgers 10 statinių giros, o kartu su žmona – 14 statinių. Tai reiškia, kad per 140 dienų žmona išgers 14 - 10 = 4 statines giros. Tada ji išgers vieną statinę giros per 140 ÷ 4 = 35 dienas.

Rodyti atsakymą Slėpti atsakymą

2. Medžioklėje

Vyras su šunimi išėjo į medžioklę. Jie ėjo per mišką ir staiga šuo pamatė kiškį. Kiek reikės šuolių, kad pasivytum kiškį, jei atstumas nuo šuns iki kiškio yra 40 šunų šuolių ir atstumas, kurį šuo įveikia 5 šuoliais, kiškis nubėga 6 šuoliais? Suprantama, kad lenktynes vienu metu daro ir kiškis, ir šuo.

Jei kiškis atlieka 6 šuolius, tai šuo atliks 6 šuolius, bet šuo, atlikęs 5 šuolius iš 6, nubėgs tą patį atstumą kaip ir kiškis 6 šuolius. Vadinasi, per 6 šuolius šuo priartės prie kiškio tokiu atstumu, kuris lygus vienam jo šuoliui.

Kadangi pradiniu momentu atstumas tarp kiškio ir šuns buvo lygus 40 šuns šuolių, šuo pasivys kiškį 40 × 6 = 240 šuolių.

Rodyti atsakymą Slėpti atsakymą

3. Anūkai ir riešutai

Senelis sako anūkams: „Štai jums 130 riešutų. Padalinkite juos į dvi dalis, kad mažesnė dalis, padidinta 4 kartus, būtų lygi didesnei, sumažintai 3 kartus. Kaip suskaldyti riešutus?

Tegul x veržlių yra mažiausia dalis, o (130 - x) yra didžiausia dalis. Tada 4 riešutai yra mažesnė dalis, padidinta 4 kartus, (130 - x) ÷ 3 - didelė dalis, sumažinta 3 kartus. Pagal sąlygą mažesnė dalis, padidinta 4 kartus, yra lygi didesnei daliai, sumažintai 3 kartus. Sudarykite lygtį ir ją išspręskime:

4x = (130 - x) ÷ 3

4x × 3 = 130 - x

12x = 130 - x

12x + x = 130

13x = 130

x = 10

Tai reiškia, kad mažesnė dalis yra 10 riešutų, o didesnė dalis yra 130 - 10 = 120 riešutų.

Rodyti atsakymą Slėpti atsakymą

4. Prie malūno

Malūne yra trys girnos. Pirmajame iš jų per dieną galima sumalti 60 ketvirčių grūdų, antroje - 54 ketvirčius, o trečiajame - 48 ketvirčius. Kažkas nori ant šių trijų girnų per trumpiausią laiką sumalti 81 ketvirtadalį grūdų. Per kiek trumpiausią laiką grūdai sumalami ir kiek tam reikia jų užpilti ant kiekvieno girnos?

Bet kurio iš trijų girnų tuščiosios eigos laikas padidina grūdų malimo laiką, todėl visos trys girnos turi veikti vienodai. Per dieną visos girnos gali sumalti 60 + 54 + 48 = 162 ketvirčius grūdų, bet reikia sumalti 81 ketvirtadalį. Tai yra pusė 162 ketvirčių, todėl girnos turi veikti 12 valandų. Per šį laiką pirmuoju girnapimu reikia sumalti 30 ketvirčių, antruoju – 27 ketvirčius, trečiuoju – 24 ketvirčius grūdų.

Rodyti atsakymą Slėpti atsakymą

5,12 žmonių

12 žmonių nešasi 12 kepalų duonos. Kiekvienas vyras nešasi po 2 kepalus, kiekviena moteris – po pusę kepaliuko, o kiekvienas vaikas – po ketvirtadalį. Kiek ten buvo vyrų, moterų ir vaikų?

Jei paimtume vyrus už x, moteris - y, o vaikus - z, gautume tokią lygybę: x + y + z = 12. Vyrai nešasi 2 kepalus - 2x, moterys per pusę - 0,5 m, vaikai ketvirtį - 0,25 z … Padarykime lygtį: 2x + 0,5y + 0,25z = 12. Abi puses padauginkite iš 4, kad atsikratytumėte trupmenų: 2x × 4 + 0,5y × 4 + 0,25z × 4 = 12 × 4; 8x + 2y + z = 48.

Išplėskime lygtį taip: 7x + y + (x + y + z) = 48. Yra žinoma, kad x + y + z = 12, duomenis pakeičiame į lygtį ir supaprastiname: 7x + y + 12 = 48; 7x + y = 36.

Dabar pasirinkimo metodas turi rasti x, atitinkantį sąlygą. Mūsų atveju tai yra 5, nes jei būtų šeši vyrai, tai jiems būtų išdalinta visa duona, o vaikai ir moterys nieko negautų, o tai prieštarauja sąlygai. Pakeiskite lygtį 5: 7 × 5 + y = 36; y = 36 - 35 = 1. Taigi, buvo penki vyrai, viena moteris ir vaikai - 12 - 5 - 1 = 6.

Rodyti atsakymą Slėpti atsakymą

6. Berniukai ir obuoliai

Trys berniukai turi po obuolius. Pirmasis iš vaikinų kitiems dviem duoda tiek obuolių, kiek kiekvienas turi. Tada antrasis berniukas duoda kitiems dviem tiek obuolių, kiek kiekvienas iš jų dabar turi. Savo ruožtu trečiasis kiekvienam iš kitų dviejų duoda tiek obuolių, kiek kiekvienas turi tą akimirką.

Po to kiekvienas iš berniukų turi po 8 obuolius. Kiek obuolių kiekvienas vaikas turėjo pradžioje?

Pasibaigus mainams, kiekvienas berniukas turėjo po 8 obuolius. Pagal būklę trečias berniukas kitiems dviems davė tiek obuolių, kiek turėjo. Todėl jie turėjo po 4 obuolius, o trečiasis – 16.

Tai reiškia, kad prieš antrąjį perkėlimą pirmasis berniukas turėjo 4 ÷ 2 = 2 obuolius, trečiasis - 16 ÷ 2 = 8 obuolius, o antrasis - 4 + 2 + 8 = 14 obuolių. Taigi nuo pat pradžių antrasis berniukas turėjo 7 obuolius, trečias - 4, o pirmasis - 2 + 7 + 4 = 13 obuolių.

Rodyti atsakymą Slėpti atsakymą

7. Broliai ir avys

Penki valstiečiai – Ivanas, Petras, Jakovas, Michailas ir Gerasimas – turėjo 10 avių. Nerado piemens, kuris juos ganytų, o Ivanas sako kitiems: „Ganome patys, broliai, paeiliui – tiek dienų, kiek kiekvienas turime avių“.

Kiek dienų turi būti ganytojas kiekvienas valstietis, jei žinoma, kad Ivanas turi dvigubai mažiau avių nei Petras, Jokūbas – dvigubai mažiau nei Ivanas; Michailas turi dvigubai daugiau avių nei Jakovas, o Gerasimas keturis kartus daugiau nei Petras?

Tai išplaukia iš sąlygos, kad tiek Ivanas, tiek Michailas turi dvigubai daugiau avių nei Jokūbas; Petras turi dvigubai daugiau nei Ivanas, taigi keturis kartus daugiau nei Jokūbas. Bet tada Gerasimas turi tiek avių, kiek Jokūbas.

Tegul Jakovas ir Gerasimas turi po x avis, tada Ivanas ir Michailas turi po 2 avis, Petras - 4. Padarykime lygtį: x + x + 2 x + 2x + 4x = 10; 10x = 10; x = 1. Tai reiškia, kad Jakovas ir Gerasimas ganys avis vieną dieną, Ivanas ir Michailas – dvi dienas, o Petras – keturias dienas.

Rodyti atsakymą Slėpti atsakymą

8. Susitikimas su keliautojais

Vienas žmogus eina į kitą miestą ir nueina 40 mylių per dieną, o kitas žmogus eina jo pasitikti iš kito miesto ir nueina 30 mylių per dieną. Atstumas tarp miestų yra 700 verstų. Kiek dienų keliautojai susitiks?

Per vieną dieną keliautojai vienas prie kito priartėja 70 mylių. Kadangi atstumas tarp miestų yra 700 verstų, jie susitiks per 700 ÷ 70 = 10 dienų.

Rodyti atsakymą Slėpti atsakymą

9. Bosas ir darbuotojas

Savininkas samdė darbuotoją su tokia sąlyga: už kiekvieną darbo dieną jam mokama po 20 kapeikų, o už kiekvieną nedarbo dieną – 30 kapeikų. Po 60 dienų darbuotojas nieko neuždirbo. Kiek buvo darbo dienų?

Jei žmogus dirbtų be pravaikštų, tai per 60 dienų uždirbtų 20 × 60 = 1200 kapeikų. Už kiekvieną nedarbo dieną iš jo nuskaičiuojama 30 kapeikų ir jis neuždirba 20 kapeikų, tai yra už kiekvieną pravaikštą praranda 20 + 30 = 50 kapeikų.

Kadangi darbuotojas per 60 dienų nieko neuždirbo, tai nuostolis už visas nedarbo dienas buvo 1200 kapeikų, tai yra, nedarbo dienų skaičius yra 1200 ÷ 50 = 24 dienos. Taigi darbo dienų skaičius yra 60–24 = 36 dienos.

Rodyti atsakymą Slėpti atsakymą

10. Žmonės komandoje

Kapitonas, paklaustas, kiek žmonių turi savo komandoje, atsakė: „Yra 9 žmonės, tai yra ⅓ komandos, likusieji budi“. Kiek budi?

Iš viso komandą sudaro 9 × 3 = 27 žmonės. Tai reiškia, kad sargyboje yra 27–9 = 18 žmonių.

Rodyti atsakymą Slėpti atsakymą