Nuoga statistika – pati įdomiausia knyga apie nuobodžiausią mokslą

2024 Autorius: Malcolm Clapton | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 04:04

Kas sakė, kad statistika yra nuobodus ir nenaudingas mokslas? Charlesas Wheelanas įtikinamai teigia, kad taip toli gražu nėra. Šiandien publikuojame ištrauką iš jo knygos apie tai, kaip naudojant statistiką laimėti automobilį, o ne ožką, ir suprantame, kad intuicija gali suklaidinti.

„Monty Hall“mįslė

„Monty Hall Mystery“yra garsi tikimybių teorijos problema, sugluminusi žaidimo šou „Leisk sudaryti sandorį“, vis dar populiaraus keliose šalyse, kurio premjera JAV įvyko 1963 m., dalyvius. (Prisimenu kiekvieną kartą, kai žiūrėdavau šią laidą vaikystėje, kai dėl ligos nelankiau mokyklos.) Knygos įžangoje jau atkreipiau dėmesį, kad šis žaidimo laida gali būti įdomus statistikams. Kiekvieno jo numerio pabaigoje dalyvis, patekęs į finalą, stovėjo su Monty Hall priešais tris dideles duris: duris Nr. 1, Duris Nr. 2 ir Duris Nr. 3. Monty Hall paaiškino finalistui, kad už vienų iš šių durų buvo labai vertingas prizas – pavyzdžiui, naujas automobilis ir ožka už kitų dviejų. Finalininkas turėjo pasirinkti vieną iš durų ir gauti tai, kas už jo slypi. (Nežinau, ar tarp laidos dalyvių buvo bent vienas žmogus, norėjęs gauti ožką, bet dėl paprastumo manysime, kad didžioji dauguma dalyvių svajojo apie naują automobilį.)

Pradinę laimėjimo tikimybę nustatyti gana lengva. Yra trejos durys, dviejose slepiasi ožka, trečioje – mašina. Kai šou dalyvis atsistoja prieš šias duris su Monty Hall, jis turi vieną iš trijų galimybių pasirinkti duris, už kurių stovės automobilis. Tačiau, kaip minėta pirmiau, knygoje „Sudaryk sandorį“yra kažkas, kas šią televizijos programą ir jos vedėją įamžino tikimybių teorijos literatūroje. Po to, kai šou finalininkas rodo vienas iš trijų durų, Monty Hall atidaro vienas iš dviejų likusių durų, už kurių visada yra ožka. Tada Monty Hall klausia finalininko, ar jis nori persigalvoti, tai yra, atsisakyti anksčiau pasirinktų uždarų durų ir pakeisti kitas uždarytas duris.

Tarkime, pavyzdžiui, dalyvis parodė į duris # 1. Tada Monty Hall atidarė duris # 3, už kurių slėpėsi ožka. Dvi durys, 1 durys ir 2 durys, lieka uždarytos. Jei vertingas prizas būtų už durų Nr. 1, finalistas būtų jį laimėjęs, o jei už durų Nr. 2 – pralaimėjęs. Būtent šiuo metu Monty Hall klausia žaidėjo, ar jis nori pakeisti savo pradinį pasirinkimą (šiuo atveju palikite duris Nr. 1 ir palikite duris Nr. 2). Žinoma, atsiminsite, kad abi durys vis dar uždarytos. Vienintelė nauja informacija, kurią dalyvis gavo, buvo ta, kad ožka atsidūrė už vienų iš dviejų durų, kurių jis nepasirinko.

Ar finalistas turėtų atsisakyti pradinio pasirinkimo ir pasirinkti Door # 2?

Atsakau: taip, turėtų. Jei jis laikysis pirminio pasirinkimo, tikimybė laimėti vertingą prizą bus ⅓; jei jis persigalvos ir parodys į duris Nr. 2, tada tikimybė laimėti vertingą prizą bus ⅔. Jei netikite manimi, skaitykite toliau.

Pripažįstu, kad šis atsakymas iš pirmo žvilgsnio toli gražu nėra akivaizdus. Atrodo, kad ir kurias iš likusių dvejų durų finalininkas pasirinks, tikimybė gauti vertingą prizą abiem atvejais yra ⅓. Yra trys uždarytos durys. Iš pradžių tikimybė, kad už bet kurio iš jų slypi vertingas prizas, yra ⅓. Ar turi ką nors pakeisti finalininko sprendimas pakeisti savo pasirinkimą kitų uždarų durų naudai?

Žinoma, nes svarbiausia yra tai, kad Monty Hall žino, kas yra už kiekvienų durų. Jei finalistas pasirenka duris Nr. 1, o už jo tikrai yra automobilis, Monty Hall gali atidaryti 2 arba 3 duris, kad atskleistų už jų slypinčią ožką.

Jei finalistas pasirenka 1 duris, o automobilis yra už 2 durų, tada Monty Hall atidarys 3 duris.

Jei finalininkas nurodo 1 duris, o automobilis yra už 3 durų, tada Monty Hall atidarys 2 duris.

Pakeitęs savo nuomonę po to, kai vedėjas atidaro vienas iš durų, finalistas įgyja pranašumą – vietoj vienerių durų pasirenka dvi. Pabandysiu jus įtikinti šios analizės teisingumu trimis skirtingais būdais.

Pirmasis yra empirinis. 2008 metais „New York Times“apžvalgininkas Johnas Tyerney rašė apie „Monty Hall“fenomeną. Po to leidinio darbuotojai sukūrė interaktyvią programą, leidžiančią žaisti šį žaidimą ir savarankiškai nuspręsti, keisti pradinį pasirinkimą ar ne. (Programa netgi numato mažus ožiukus ir mašinėles, kurios pasirodo iš už durų.) Programa įrašo jūsų laimėjimus tuo atveju, jei pakeičiate pradinį pasirinkimą, ir tuo atveju, kai liekate neįtikinti. Sumokėjau vienai iš savo dukterų, kad ji žaistų šį žaidimą 100 kartų, kiekvieną kartą keisdama jos pradinį pasirinkimą. Aš taip pat sumokėjau jos broliui, kad jis žaistų žaidimą 100 kartų, kiekvieną kartą laikydamasis pradinio sprendimo. Dukra laimėjo 72 kartus; jos brolis 33 kartus. Kiekviena pastanga buvo apdovanota dviem doleriais.

Įrodymai iš žaidimo Let's Make a Deal epizodų rodo tą patį modelį. Pasak Leonardo Mlodinovo, knygos „Girtuolio pasivaikščiojimo“autoriaus, tie finalininkai, kurie pakeitė savo pradinį pasirinkimą, turėjo maždaug dvigubai didesnę tikimybę laimėti nei tie, kurie nebuvo įsitikinę.

Mano antrasis šio reiškinio paaiškinimas yra pagrįstas intuicija. Tarkime, žaidimo taisyklės šiek tiek pasikeitė. Pavyzdžiui, finalistas pradeda pasirinkti vieną iš trijų durų: Durys # 1, Door # 2 ir Door # 3, kaip iš pradžių planuota. Tačiau tuomet, prieš atidarydamas bet kurias duris, už kurių slepiasi ožka, Monty Hall klausia: „Ar sutinkate atsisakyti savo pasirinkimo mainais į dviejų likusių durų atidarymą? Taigi, jei pasirinkote „Durys Nr. 1“, galite apsigalvoti ir pasirinkti „Durys Nr. 2“ir „Durys Nr. 3“. Jei pirmiausia nurodėte duris Nr. 3, galite pasirinkti „Durys Nr. 1“ir „Durys Nr. 2“. Ir taip toliau.

Jums tai nebūtų itin sunkus sprendimas: visiškai akivaizdu, kad pirminio pasirinkimo turėtumėte atsisakyti dviejų likusių durų naudai, nes tai padidina šansus laimėti nuo ⅓ iki ⅔. Įdomiausia, kad būtent tai iš esmės Monty Hall jums siūlo tikrame žaidime, atidarius duris, už kurių slepiasi ožka. Esminis faktas yra tas, kad jei jums būtų suteikta galimybė pasirinkti dvi duris, už vienos iš jų vis tiek pasislėptų ožka. Kai Monty Hall atidaro duris, už kurių yra ožka, ir tik tada paklaus, ar sutinkate pakeisti pradinį pasirinkimą, tai žymiai padidina jūsų šansus laimėti vertingą prizą! Iš esmės Monty Hall jums sako: „Tikimybė, kad vertingas prizas pasislėps už vienų iš dviejų durų, kurių nepasirinkote pirmą kartą, yra ⅔, o tai vis tiek yra daugiau nei ⅓!

Galite įsivaizduoti taip. Tarkime, kad nurodėte duris Nr. 1. Po to „Monty Hall“suteikia jums galimybę atsisakyti pradinio sprendimo ir pasirinkti „Door Nr. 2“ir „Door Nr. 3“. Jūs sutinkate ir turite dvi duris, o tai reiškia, kad turite Dėl visų priežasčių tikisi laimėti vertingą prizą su ⅔, o ne ⅓ tikimybe. Kas būtų nutikę, jei šiuo metu Monty Hall būtų atidaręs 3 duris – vienas iš „tavo“durų, o už jų stovėtų ožka? Ar šis faktas nesugadins jūsų pasitikėjimo savo sprendimu? Žinoma ne. Jei automobilis pasislėptų už 3 durų, Monty Hall atidarytų 2 duris! Jis tau nieko neparodys.

Kai žaidimas žaidžiamas pagal išmušimo scenarijų, „Monty Hall“tikrai suteikia jums galimybę pasirinkti tarp durų, kurias nurodėte pradžioje, ir dviejų likusių durų, iš kurių viena gali būti automobilis. Kai Monty Hall atidaro duris, už kurių slepiasi ožka, jis tiesiog padaro jums paslaugą, parodydamas, kurios iš kitų dviejų durų nėra automobilis. Jūs turite tokias pačias tikimybes laimėti abiem toliau nurodytais scenarijais.

1. Pasirinkę duris Nr. 1, tada sutikdami „perjungti“į duris Nr. 2 ir „Durys Nr. 3“net prieš atidarant bet kurias duris.
2. Pasirinkę 1 duris, tada sutikdami „perjungti“prie 2 durų po to, kai Monty Hall parodys jums ožką už durų Nr. 3 (arba pasirenkate Duris Nr. 3, kai Monty Hall parodys ožką už 2 durų).

Abiem atvejais pradinio sprendimo atsisakymas suteikia jums dvejų durų pranašumą prieš vienas, todėl galite padvigubinti savo šansus laimėti nuo ⅓ iki ⅔.

Mano trečiasis variantas yra radikalesnė tos pačios pagrindinės intuicijos versija. Tarkime, „Monty Hall“prašo pasirinkti vieną iš 100 durų (o ne vieną iš trijų). Kai tai padarysite, tarkime, rodydami į duris Nr. 47, jis atidaro likusias 98 duris, kurios atskleis ožius. Dabar liko uždarytos tik dvi durys: jūsų durys Nr. 47 ir kitos, pavyzdžiui, durys Nr. 61. Ar turėtumėte atsisakyti savo pradinio pasirinkimo?

Žinoma taip! Yra 99 procentų tikimybė, kad automobilis yra už kokių nors durų, kurių iš pradžių nepasirinkote. Monty Hall mandagiai atidarė 98 šias duris, už jų nebuvo automobilio. Taigi yra tik 1 iš 100 tikimybė, kad jūsų pradinis pasirinkimas (Durys Nr. 47) bus teisingas. Tuo pačiu metu yra 99 iš 100 tikimybė, kad jūsų pradinis pasirinkimas buvo neteisingas. Jei taip, tai automobilis yra už likusių durų, tai yra durų Nr. 61. Jei norite žaisti su tikimybe laimėti 99 kartus iš 100, tuomet turėtumėte „persijungti“prie durų Nr.

Trumpai tariant, jei kada nors teks žaisti „Let’s Make a Deal“, jums tikrai reikės atsisakyti savo pirminio sprendimo, kai Monty Hall (arba kas jį pakeis) suteiks jums pasirinkimą. Universalesnė šio pavyzdžio išvada yra ta, kad jūsų intuityvūs spėjimai apie tam tikrų įvykių tikimybę kartais gali jus suklaidinti.