Viduramžių matematiko Leonardo Fibonačio problema apie triušius

2024 Autorius: Malcolm Clapton | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 04:04

Paskaičiuokite, kokių palikuonių duos gyvūnų pora iki kitų metų pradžios.

Leonardo Fibonacci buvo puikus viduramžių matematikas. Manoma, kad būtent jis įvedė arabiškus skaitmenis. Knygoje „The Book of the Abacus“– veikale, kuriame aiškinama ir skatinama dešimtainė aritmetika, Fibonacci pateikia savo garsiąją triušių problemą. Pabandykite tai išspręsti.

Sausio pradžioje naujagimių triušių pora (patinas ir patelė) buvo patalpinta į aptvarą, aptvertą iš visų pusių. Kiek porų triušių jie išaugins iki kitų metų pradžios? Būtina atsižvelgti į šias sąlygas:

• Triušiai subręsta praėjus dviem mėnesiams po gimimo, tai yra iki trečiojo gyvenimo mėnesio pradžios.
• Kiekvieno mėnesio pradžioje kiekviena lytiškai subrendusi pora pagimdo tik vieną porą.
• Gyvūnai visada gimsta poromis „viena patelė + vienas patinas“.
• Triušiai yra nemirtingi, plėšrūnai negali jų valgyti.

Pažiūrėkime, kaip auga triušių skaičius per pirmuosius šešis mėnesius:

1 mėnuo. Viena pora jaunų triušių.

2 mėnuo. Dar yra viena originali pora. Triušiai dar nėra sulaukę vaisingo amžiaus.

3 mėnuo. Dvi poros: originali, sulaukusi vaisingo amžiaus + pora jaunų triušių, kuriuos ji atsivedė.

4 mėnuo. Trys poros: viena originali pora + viena pora triušių, kuriuos ji atsivedė mėnesio pradžioje + viena pora triušių, kurie gimė trečią mėnesį, bet dar nepasiekė brendimo.

5 mėnuo. Penkios poros: viena pradinė pora + viena pora, gimusi trečią mėnesį ir sulaukusi vaisingo amžiaus + dvi naujos poros, kurias pagimdė + viena pora, gimusi ketvirtą mėnesį, bet dar nesulaukusi brandos.

6 mėnuo. Aštuonios poros: penkios praėjusio mėnesio poros + trys naujagimių poros. ir kt.

Kad būtų aiškiau, gautus duomenis surašykime į lentelę:

Jei atidžiai išnagrinėsite lentelę, galite nustatyti tokį modelį. Kiekvieną kartą n-tąjį mėnesį esančių triušių skaičius yra lygus triušių skaičiui (n - 1) praėjusį mėnesį, susumavus naujai gimusių triušių skaičiumi. Jų skaičius savo ruožtu lygus bendram gyvulių skaičiui (n - 2) mėnesį (tai buvo prieš du mėnesius). Iš čia galite gauti formulę:

F = F_n-1+ F_n-2, kur F - bendras triušių porų skaičius n-tą mėnesį, F_n-1 yra bendras triušių porų skaičius praėjusį mėnesį, o F_n-2 – bendras triušių porų skaičius prieš du mėnesius.

Suskaičiuokime gyvūnų skaičių kitais mėnesiais naudodami jį:

7 mėnuo. 8 + 5 = 13.

8 mėnuo. 13 + 8 = 21.

9 mėnuo. 21 + 13 = 34.

10 mėnuo. 34 +21 = 55.

11 mėnuo. 55 + 34 = 89.

12 mėnuo. 89 + 55 = 144.

13 mėn. (kitų metų pradžia). 144 + 89 = 233.

13 mėnesio pradžioje, tai yra metų pabaigoje, turėsime 233 poras triušių. Iš jų 144 bus suaugusieji, o 89 – jauni. Gauta seka 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 vadinama Fibonačio skaičiais. Jame kiekvienas naujas galutinis skaičius yra lygus dviejų ankstesnių sumai.

Rodyti atsakymą Slėpti atsakymą